Aggaddon lança un rapide regard à son collègue situé dans le coin de la salle, puis inspira un grand coup. Il avait débarqué sur cette île perdue car les différents savants qui s’étaient rassemblé ici espéraient se servir de l’inintérêt qu’elle générait pour organiser tranquillement le séminaire auquel il était entrain de participer. La vulgarisation n’était pas forcément son point fort alors il espérait que cette conférence se passerait bien. Il ne pouvait plus faire d’ajout ou de modification. Il se lança donc dans une longue explication typique de ce genre de conférences qui pouvait durer plusieurs dizaines de minutes.

-Bonjour à tous, mesdames, messieurs. Nous ici aujourd’hui afin de parler de la logique mathématique. Mes très chers confrères ont donc décider de m’offrir l’honneur d’exposé les différents raisonnements mathématiques découlant de la logique que l’on utilise un peu partout dans les mathématiques.

Pour se faire, nous allons commencer par un bref rappel du principe d’implication et pour se faire nous allons parler des tables de vérités. Il s’agit d’outils de logique permettant de définir correctement de nombreuses notions naturelles comme l’est l’implication. Pour se faire, on place un certain nombre d’assertions que l’on nomme par des lettres, tel A et B, et l’on fixe tous les cas possibles en considérant qu’une assertion est soit vraie soit fausse. Il y a plusieurs manières de notés cela dans un tableau comme assigner de manière binaire le 1 à l’état « vraie » et le 0 à l’état « fausse » ou écrire simplement V et F. Ce sont en tout cas les deux manières courantes de le faire.

Pour ce qui est des implications, nous obtenons cela :

Comme vous pouvez le constater, la véracité de P implique Q ne se restreint pas au cas où P est vrai et donne Q vraie mais s’étend également à P fausse. C’est parfois compliqué à concevoir pour certains, mais si l’on considère P fausse, la remise en cause de l’implication est inexistante, ce qui aboutis à cette définition. En utilisant cela, on voit bien que la relation d’équivalence entre deux assertions, qui correspond au fait que chacune implique l’autre, est bien une « équivalence ». P et Q sont simultanément soit vraies soit fausses, montrant l’ « égalité » des deux propositions.

On peut aussi facilement définir « et » et « ou » comme on peut le voir. La différence avec le langage courant c’est que le ou est inclusif, contenant le cas « et » en fait. L’assertion « P et Q » est vraies si P est vraie et Q est vraie. L’assertion « P ou Q » est vraie si au moins l’une des deux est vraies. C’est pour cela que de nombreux mathématiciens ont souvent tendance à expliciter s’ils utilisent « ou » de manière inclusive ou exclusive dans leurs écrits.

Après cette introduction permettant de se souvenir des définitions logiciennes de ces trois concepts mathématiques fondamentaux, nous allons donc passer au vif du sujet : les raisonnements.

Nous allons commencer par une vision élémentaire avec le raisonnement déductif qui a pour but d’avancer d’implication en implication en se basant sur le principe du tiers exclu que j’ai rapidement explicité précédemment : une proposition est soit vraie, soit fausse. Le principe de non-contradiction disant que l’on ne peut avoir une proposition qui soit à la fois vraie et fausse est également très important. C’est deux principes sont pour le moins évident sur le point de vue de la logique humaine et c’est l’une des raisons qui les placent aux fondements des raisonnements logiques.

Le raisonnement déductif donc cherche juste à démontrer qu’une assertion A est vraie et que l’assertion « A implique B » est vraie également. De cela, on conclut trivialement d’après la table de vérité que B est vraie, puisque c’est le seul cas possible. De manière équivalente on peut partir du fait que B soit fausse et que « A implique B » soit vraie pour montrer que A est fausse. En vérité, la mathématique est une science logico-déductive dans le sens où tout énoncé demande une démonstration suivant les règles de la déduction tel que nous venons de la formaliser.

Les sciences dites formelles, ou plutôt logico-formelles, développent des théories axiomatiques, se basant donc sur des propriétés de départ qui sont admises vraies. Via le raisonnement déductif, on en tire petit à petit d’autres affirmations vraies afin d’aboutir à une théorie concrète et construite. À l’inverse, les sciences expérimentales ont besoin de validations par l’expérience pour approuver leurs modèles et propriétés. C’est pourquoi une vérité ne peut être totalement acquise et que les dogmes s’y font rares.

À l’opposée du raisonnement déductif, on trouve le raisonnement inductif, ou « par induction », qui est logiquement parlant inexact. Il consiste à affirmer que si A et B sont vraies, alors « A implique B » est vraie. C’est cela que l’on nomme induction. C’est un raisonnement malheureusement encouragé par l’observation des phénomènes et l’obligation d’en tirer des conséquences. Par exemple, si une étude biologique venait à montrer qu’à chaque une hausse de la grippe jaune il y a une hausse du nombre de porcs morts, certains pourraient conclure que la grippe jaune implique la mort de porcs ce qui peut être vraie comme totalement inexact. Un cas beaucoup plus flagrant serait de constater que la hausse de la grippe jaune coïncide exactement avec la nouvelle vague de piraterie. Ceux qui dirait que c’est la grippe jaune implique une hausse du nombre de pirate en mer pourraient sembler fous ! Pourtant dans ces deux cas il y a induction. Le raisonnement inductif est en fait quelque chose qui permet de conjecturer plus que de démontrer. C’est d’ailleurs là l’une des origines de l’incertitude régnant sur certains points de physique qui n’est pas une science aussi formelle que les mathématiques. On peut donc en conclure que le raisonnement par induction a du sens dans les sciences expérimentales, mais pas en mathématiques ou en logique pur.

Le Médixès fit une pause pour attraper un verre d’eau et hydraté sa gorge après ces quelques sous-parties abordés.

-Le dernier des trois types de raisonnements élémentaires à aborder est le raisonnement abductif, ou « par abduction ». Cette fois, on part du fait que B est vraie et que A implique B soit vraie pour aboutir à A vraie. En retournant voir la table de vérité, on s’aperçoit rapidement que l’abduction est logiquement fausse. Une fois encore, on ne s’en sert par dans des sciences formelles, mais il peut s’agir de quelque chose relativement utile en archéologie ou en biologie par exemple ou dans des enquêtes. Dans le fond, tout se joue sur le pari qu’il y a équivalence et pas simple implication. C’est un raisonnement assez complexe à aborder alors nous n’en ferons pas plus longtemps mention.

Après ceci, nous allons pouvoir plonger au cœur des raisonnements déductifs utilisés en mathématiques. Celui consistant à montrer qu’une propriété en implique une autre par une série d’implications sera nommer simplement raisonnement direct. Bien évidemment, on peut faire appel à des propriétés que l’on sait vraies à tout moment dans le processus. Ainsi, montrer à l’aide du théorème de Pythagore qu’un triangle est rectangle relève du raisonnement direct.

Le second raisonnement à abordé est celui par disjonction de cas. Pour cela, on découpe l’assertion depuis laquelle on part en une union d’assertion moins restrictives. C’est-à-dire que l’on se sert du « ou » inclusif évoqué dans l’introduction pour assembler des petites assertions afin qu’elle soit parfaitement équivalente à la plus grosse. De là, on montre que chaque petite assertion implique la propriété finale pour montrer que l’assertion de base implique cette propriété. Il est ici très facile de trouver un exemple. Il suffit de prendre la fonction valeur absolue. Pour ceux qui ne connaitrait pas cet objet, c’est une fonction qui ne change pas les nombres positifs et « enlève » le symbole négatif devant les nombres négatifs pour les rendre positifs. Rien que la définition rend évidente la disjonction de cas nécessaire pour dire que la fonction est à valeur positive. En effet, on pose un premier cas qui se trouve être les nombres positifs qui sont inchangés et le second cas les nombres négatifs auquel on retire leur « moins » pour les rendre positifs. L’ensemble des nombres positifs avec l’ensemble des nombres négatifs forme l’ensemble des nombres réels. On a donc simplement montré ce que l’on voulait en séparant l’étude en deux.

Le raisonnement par contre-exemple est en fait un outil simple d’utilisation qui est parfois détourné par abus en se basant sur sa simplicité. On dispose d’une propriété P(x) dépendant d’un élément x appartenant à ensemble E. Pour démontrer que le fait que P(x) soit vraie pour tous les x de E est faux, il suffit de montrer qu’il y a au moins un x de E qui rend P(x) fausse. Ce passage est en fait la négation de la propriété de départ. Un exemple simple à nouveau : posons comme propriété à étudier P(x) : « 2x > x+2 ». Pour montrer que cette propriété n’ait pas vraie pour tous les nombres réels, il suffit de montrer que 2 fois 1 est plus petit que 1+2=3. Comme il existe un x qui rend P(x) fausse, la propriété ne pas être vraies pour tous les réels.

Vient ensuite le raisonnement par contraposée. Ce raisonnement se base sur l’équivalence entre A implique B et non B implique non A. Le non que je viens de mentionner sert à marquer la négation. Non A est vraie quand A est fausse et non A est fausse quand A est vraie, tout simplement. Cette équivalence peut se montrer à l’aide des tables de vérités de manières assez rapide, mais nous ne sommes pas là pour nous perdre en démonstrations. Vous serez facilement d’accord je pense sur le fait qu’être nait à Luvneel implique être nait à North Blue revient à ce que ne pas être nait à North Blue implique de ne pas être nait à Luvneel.

Nous allons maintenant aborder le raisonnement par l’absurde, autrefois aussi nommé apagogie. Dans la forme, cela consiste à supposer le contraire de la propriété que le l’on veut démontrer, la négation de l’assertion donc, pour aboutir à une absurdité, montrant ainsi qu’il est impossible d’avoir la négation vraie. Nous pouvons alors ressortir la règle du tiers exclu nous disant qu’une assertion est soit vraie soit fausse. Puisque la négation est fausse, l’assertion d’origine est donc vraie. En fait, l’absurdité que l’on met en avant est toujours une violation du principe de non contradiction, c’est-à-dire que l’on a une propriété qui est à la fois vraie et fausse. Les plus attentifs auront peut-être remarqué que le raisonnement par contraposé est inclus dans le raisonnement par l’absurde. En effet, on montre bien que non B implique non A et le fait que A soit vraie donne l’absurdité. De manière plus philosophé, on peut dire que raisonner par contraposée c’est initier un raisonnement par l’absurde dont l’absurdité est la négation de l’hypothèse originelle.

Ne nous attardons pas plus là-dessus, ce sujet assez dense pouvant vous perdre facilement dans une myriade de détails insoupçonnés. Le sujet suivant est le raisonnement par analyse-synthèse. Cela se base, comme le dit le nom, sur un découpage en deux temps lorsqu’il s’agit de démontrer l’existence, voir même l’unicité, d’un objet vérifiant certaines propriétés. Dans l’analyse, on suppose l’existence de l’objet et on déduit un certain nombre de conditions sin qua none à cette existence. Lorsque les conditions que l’on obtient sont assez précises pour définir des objets, on continue pour essayer de réduire au minimum leur nombre. Une fois que nous avons avancé le plus loin possible, on met fin à cette phase pour passer à la synthèse. On prend tous les objets obtenus à la fin de l’analyse et on les « tests » pour voir s’ils vérifient les conditions requises, ce qui était en soit le but de l’analyse. Si l’on trouve un objet correspondant, l’existence est donc montrée par la mise en exergue d’une solution, dans le cas contraire cela signifie qu’il n’y a pas existence car tous les objets susceptibles de fonctionner ont été étudiés.

Nous arrivons finalement au raisonnement par récurrence ! Il sert à démontrer la validité d’une propriété P(n) indexé par les nombres entiers naturels, c’est-à-dire positif. Pour ceux plus habitués aux mathématiques, indexé par un ensemble dénombrable convient bien entendu également par la bijectivité avec N. Le procédé se résume en réalité simplement. On montre d’abord que P(0) est vraie. C’est l’initialisation. On passe ensuite à ce que l’on appelle l’hérédité. On suppose qu’il existe un entier n pour lequel P(n) est vraie et on démontre que cela implique que P(n+1) l’est également. On a donc P(n) vraie implique P(n+1) vraie. Cela montre d’un coup d’un seul que P(0) vraie, montrer dans l’initialisation, implique P(1) vraie qui a son tour montre la véracité de P(2) qui montre celle de P(3) et ainsi de suite ! On conclut donc que P(n) est vraie pour tous les n !

Sur ces mots, nous avons achever notre tour d’horizon rapide, mais exhaustif, des différents types de raisonnements mathématiques.

Il termina son verre d’eau pour hydrater de nouveau sa gorge. L’absence de salive dans la bouche avait commencé à se faire ressentir sur la fin.

-J'espère que cela vous aura plus et que vous pourrez ainsi aborder les sujets qui seront traiter dans les heures à venir. Si vous avez des questions, je reste à votre disposition pour les traiter. Accrochez-vous car nous allons rentrer dans le vif du sujet avec le professeur Exclark. Je rappel que le but ultime ces exposés est d'aboutir à la compréhension du théorème de Herbrand !

Aggaddon salua avant de se diriger vers sa place au sein du public, observant rapidement du coin de l'œil les gradins pour voir si quelqu'un souhaité lui poser une question. Il s'assaillit en adressant quelques mots à l'oreille d'un collègue, disant qu'il avait hâte de repasser sur l'estrade pour expliquer la logique du première ordre et les principes des prédicats. Un sourire se dessina sur ses lèvres alors qu'il s'enfonçait dans son siège.